Inmaculada Baldomá Barraca
immaculada.baldoma@upc.edu
Universitat Politècnica de Catalunya (UPC), Institute of Mathematics of UPC-Barcelona Tech (IMTech), Centre de Recerca Matemàtica (CRM)
La teoría cualitativa de los sistemas dinámicos tiene como objetivo comprender la organización general de la dinámica de una familia concreta o paramétrica de sistemas dinámicos. El trabajo pionero de Poincaré [Poi90] sobre la inestabilidad del problema de los 3 cuerpos, proporciona un punto de vista geométrico para comprender este comportamiento en el espacio de fase completo mediante las interacciones de las llamadas variedades invariantes (globales). Tales variedades están unidas a objetos invariantes de dimensión más pequeña, como puntos fijos, órbitas periódicas o toros, y actúan como barreras entre diferentes comportamientos (cualitativos). Cuando los objetos invariantes tienen direcciones hiperbólicas (no degeneradas), tienen variedades invariantes estables e inestables asociadas donde el objeto actúa como un atractor hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, respectivamente.
El propósito de este curso introductorio es proporcionar algunas herramientas básicas para la comprensión cualitativa de los sistemas dinámicos no lineales y su dependencia con respecto a los parámetros. Viajaremos del comportamiento local al global del sistema dinámico con especial énfasis, pero no exclusivo, en el estudio de variedades invariantes.
Proporcionaremos resultados clásicos sobre el comportamiento local alrededor de puntos fijos (teorema de caja de flujo, teorema de Hartman) y cómo, en familias paramétricas, este comportamiento local puede cambiar drásticamente para algunos valores del parámetro (teoría de la bifurcación local). Además de esto, estudiaremos la existencia y regularidad de las variedades invariantes asociadas a puntos fijos en el entorno local y cómo podemos proporcionar aproximaciones numéricas precisas de las variedades invariantes mediante el método de parametrización [CFL03]. Posteriormente estudiaremos el comportamiento global de estas variedades invariantes enfocándonos en su posición relativa en el espacio de fase, principalmente cuando se cruzan transversalmente y cómo esta configuración conduce a un comportamiento caótico. El mecanismo del caos que estudiaremos es el proporcionado por la herradura de Smale [GH90] y la dinámica simbólica inducida por el shift de Bernoulli.
También veremos algunas aplicaciones recientes a la mecánica celeste.
La evaluación consistirá en algunos ejercicios propuestos en clase.
Numero de horas: 10 horas.
Bibliografía
[CFdlL03a] X. Cabré, E. Fontich, and R. de la Llave. The parameterization method for invariant manifolds. i. Manifolds associated to non-resonant subspaces. indiana Univ. Math. J., 52(2):283–328, 2003.
[GH90] J. Guckenheimer, P. Holmes. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. Revised and corrected reprint of the 1983 original. Applied Mathematical Sciences, 42. Springer-Verlag, New York, 1990. xvi+459 pp. iSBN: 0-387-90819-6
[Poi09] H. Poincaré. Sur le problème des trois corps et les èquations de la dynamique, Acta Math. 13 (1890) 1–270.
