Marina Gonchenko
Universitat de Barcelona
gonchenko@ub.edu
El tema de este curso es Sistemas Dinámicos, que es un campo de investigación muy activo, tiene una gran influencia en otras áreas de las matemáticas y una amplia gama de aplicaciones en las ciencias naturales (física, biología, meteorología, química, economía, etc). Los modelos de problemas del mundo real usualmente dan lugar a complicados sistemas dinámicos que no pueden resolverse explicítamente. Para su estudio se requiere el uso de métodos analíticos y numéricos especiales. Dentro de este curso consideraremos sistemas dinámicos tanto con tiempo continuo (flujos usualmente definidos por ecuaciones diferenciales ordinarias) como con tiempo discreto (mapas, difeomorfismos). Se explicarán las principales herramientas y métodos analíticos de los sistemas dinámicos para comprender el comportamiento cualitativo local de órbitas. Se presentarán muchos ejemplos prácticos.
El plan tentativo del curso incluye los siguientes temas:
• Formas normales de ecuaciones diferenciales y difeomorfismos.
• introducción a la teoría de bifurcaciones. Bifurcaciones principales en sistemas con un parámetro.
• Órbitas homoclinicas y heteroclinicas. Bifurcaciones homoclinicas.
• Escisión de separatrices y el método de Poincaré-Melnikov.
Comenzamos con la teoría de las formas normales. Una de las herramientas para estudiar un sistema cualitativamente consiste en escribir el sistema en la forma más simple. Estas formas simples resultan ser formas normales a las cuales se puede transformar un sistema dado cerca de un punto critico o de un movimiento periódico. Las
formas normales proporcionan mucha información sobre el comportamiento cualitativo y son básicas para la teoria de bifurcaciones.
El segundo tema está dedicado a la teoria de bifurcaciones. Los problemas de la vida real pueden describirse mediante sistemas dinámicos con uno o varios parámetros.
El cambio de estos parámetros puede provocar bifurcaciones, es decir, cambios cualitativos bruscos en el comportamiento de los sistemas. Se considerarán las principales bifurcaciones de equilibrios y puntos fijos (incluyendo bifurcaciones de silla nodo, doblamiento de periodo, Andronov-Hopf, resonancias). Cuando un sistema posee una órbita homoclínica, estas bifurcaciones pueden ser muy complicadas.
El tercer tema se trata sobre las órbitas homoclínicas y heteroclínicas. Supongamos que un sistema tiene un objeto invariante hiperbólico (por ejemplo, equilibrio de tipo silla, punto fijo silla, órbita periódica hiperbólica, toro hiperbólico, variedad invariante normalmente hiperbólica, etc.) y consideramos sus variedades invariantes
estables e inestables. A veces, las variedades invariantes coinciden y decimos que tenemos una conexión homoclínica, también llamada bucle homoclinico o separatriz. Esta configuración es habitual para sistemas integrables, pero, para sistemas generales, las variedades invariantes estables e inestables no coinciden y pueden cruzarse a lo largo de una órbita homoclínica. Cuando las variedades invariantes estables e inestables se intersectan transversalmente (en un ángulo distinto de cero), la órbita homoclinica se llama transversal. De lo contrario, se trata de una tangencia homoclinica (una trayectoria homoclínica no transversal). Tengamos en cuenta que si se intersectan las variedades invariantes estables e inestables de diferentes objetos, la órbita correspondiente se llama heteroclínica. Estudiar las órbitas homoclínicas y heteroclínicas es muy importante. Hoy en dia, la presencia de órbitas homoclínicas se considera como un indicador de la dinámica caótica. Si se perturba un objeto invariante hiperbólico con variedades invariantes estables e inestables coincidentes (bucle homoclínico), las variedades invariantes ya no coinciden en general, lo que da lugar al fenómeno llamado escisión (splitting) de separatrices.
El problema de medir la escisión se ha vuelto clásico desde Poincaré cuando estudió el problema de la estabilidad del sistema solar y descubrió este fenómeno. Encontrar estimaciones para el splitting en diferentes contextos es un punto de interés de muchos cientificos. La herramienta más popular para medir la escisión es el método perturbativo de Poincaré-Melnikov. El método proporciona una aproximación de primer orden (respecto a un parámetro de perturbación) dada por una integral conocida como función de Melnikov. Sus ceros simples corresponden a intersecciones transversales de las variedades estable e inestable. Este método se explicará en la última clase.
Número de horas requerido por el curso 10h.
El examen consistirá en la resolución de algunos problemas prácticos por parte del estudiante.
Bibliografía
1. V. i. Arnold. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1983
2. V. i. Arnold, V. V. Kozlov, A. i. Neishtadt. Mathematical aspects of classical
and celestial mechanics. 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 2006
3. V. Arnold, V. Afraimovich, Y. ilyashenko, L. Shilnikov. Bifurcation theory, in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 5, Springer-Verlag, New York,1994.
4. S.-N. Chow, J. Hale. Methods of Bifurcation Theory, Springer-Verlag, New York,1982.
5. Yu. Kuznetsov. Elements of Applied Bifurcations Theory. Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New York, 1995.
6. L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev, L. O. Chua. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part i. World Scientific Publishing Co., inc., River Edge, NJ, 1998.
7. L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev, L. O. Chua. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part ii. World Scientific Publishing Co., inc., River Edge, NJ, 2001.
